lunes, 6 de mayo de 2013

PRODUCTO NOTABLE


Binomio al cuadrado

Binomio de suma al cuadrado

Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.
(a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
(x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

Binomio de resta al cuadrado

Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo.
(a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
(2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9

Suma por diferencia

Una suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados.
(a + b) · (a − b) = a2 − b2
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)2 − 52 = 4x− 25

Binomio al cubo

Binomio de suma al cubo

Un binomio al cubo (suma) es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.
(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3
(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 3+ 33 =
= x 3 + 9x2 + 27x + 27

Binomio de resta al cubo

Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.
(a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3
(2x - 3)3 = (2x)3 - 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 - 3=
= 8x 3 - 36 x2 + 54 x - 27

Trinomio al cuadrado

Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del seguno, más el cuadrado del tercero, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c+ 2 · a · b + 2 · a · c + 2 · b · c
(x2 − x + 1)2 =
= (x2)2 + (−x)2 + 12 +2 · x2 · (−x) + 2 x2 · 1 + 2 · (−x) · 1 =
= x4 + x2 + 1 − 2x3 + 2x2 − 2x =
= x− 2x3 + 3x2 − 2x + 1

Suma de cubos
a3 + b3 = (a + b) · (a2 − ab + b2)
8x3 + 27 = (2x + 3) (4x2 - 6x + 9)

Diferencia de cubos
a3 − b3 = (a − b) · (a2 + ab + b2)
8x3 − 27 = (2x − 3) (4x2 + 6x + 9)

Producto de dos binomios que tienen un término común
(x + a) (x + b) = x2 + ( a + b) x + ab
(x + 2) (x + 3) =
= x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =
= x2 + 5x + 6




PRODUCTOS NOTABLES

Sabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que los valores que se multiplican se llaman factores.
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muy utilizados en los ejercicios.
 A continuación veremos algunas expresiones algebraicas y del lado derecho de la igualdad se muestra la forma de factorizarlas (mostrada como un producto notable).
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)2

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)2

Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados)

(a + b) (a – b) = a2 – b2

El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:


Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2 – b2


Otros casos de productos notable (o especiales):

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Demostración:
Veamos un ejemplo explicativo:
Tenemos la expresión algebraica
x2 + 9 x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )
¿Cómo llegamos a la expresión?
a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2
b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 7)x = 9x
c) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14

Así, tenemos:
x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x + b)

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)
Demostración:

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x + a) (x – b).

Producto de dos binomios con un término común, de la forma

x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)
Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (x – a) (x – b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma

mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)

En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).

Demostración:
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma mnx2 + ab + (mb + na)xdebemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).

Cubo de una suma
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a + b)3.


Cubo de una diferencia
a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3

Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de la forma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a – b)3.

A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:

Producto notable
Expresión algebraica
Nombre
(a + b)2
=
a2 + 2ab + b2
Binomio al cuadrado
(a + b)3
=
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Binomio al cubo
a2 - b2
=
(a + b) (a - b)
Diferencia de cuadrados
a3 - b3
=
(a - b) (a2 + b2 + ab)
Diferencia de cubos
a3 + b3
=
(a + b) (a2 + b2 - ab)
Suma de cubos
a4 - b4
=
(a + b) (a - b) (a2 + b2)
Diferencia cuarta
(a + b + c)2
=
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Trinomio al cuadrado





INTEGRANTES:

 -GERARDO SALAS HORNA
 -WENDY RODRIGUEZ GARCIA
 -LUIS CASTRO BEJARANO
 -YAMELI GUERRA GONSALEZ
 -SUSAN ZURITA OCAÑA
 -JHOSELYN VARGAS MENDOZA

sábado, 4 de mayo de 2013

POLINOMIOS



EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Noción básica:

En la mayoría de las áreas de la ciencia y la tecnología trabajamos con números muy pequeños o muy grandes. Cotidianamente escuchamos más y más terminología mencionando cantidades pequeñas y grandes. Por ejemplo, nuestra computadora tiene un disco duro de 40 gigabytes, y expresamos el tiempo que tarda en realizar los cálculos en microsegundos. La notación científica es una forma práctica de trabajar con cantidades pequeñas o grandes. Otro ejemplo es el de poder determinar cuanto tiempo tardará la luz del sol en llegar a la tierra, dad la distancia entre los dos y la velocidad a que viaja la luz.

EXPRESIÓN ALGEBRAICA: 

Combinación de constantes y variables en cantidades finitas donde solo intervienen las seis operaciones fundamentales, sin variables en los exponentes.
Ej: -8x3y2z, x2-x+1, etc.
Término Algebraico: es la minima expresión algebraica en la que sus elementos se encuentran ligados por las diferentes operaciones aritméticas, excepto la adición o sustracción. Los términos se separan entre sí por los  signos de suma (+) o resta (-).
 Coeficiente numérico: es el factor numérico del mismo.
 Término constante: es el coeficiente numérico que no contiene variable.
Definición:
Un polinomio en la variable es una expresión algebraica formada solamente por la suma de términos de la forma axn, donde a es cualquier número y n es un número entero no negativo.

Ejemplos:


1) 3x - 2
2) x 4 + 5
3) 2n2- 5n + 3
4) 5y3 + 4y2- 3y + 1
5) 23

Nota: Los polinomios son expresiones algebraicas pero no toda expresión algebraica es un polinomio.
Los polinomios se clasifican de acuerdo al número de términos.

CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS:















   EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES: 

Expresiones cuyas variables no están afectadas de radicales o expresiones fraccionarias. Se sub-clasifican en:

Racionales enteras: Expresiones en los que al trasponer todas las variables al numerador, sus exponentes resultan ser enteros no negativos.

Ejemplos::  



Racionales fraccionarias: Expresiones en dodne por lo menos una de las variables aparece en el denominador, o si están en el numerador, alguna de ellas aparece con exponente entero negativo.

Ejemplos:



EXPRESIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES: Se caracterizan porque sus variables están afectadas de radicales o exponentes irracionales.

Ejemplos:




GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Se denomina grado a la característica relacionada con los exponentes de las variables de una expresión algebraica. Dos tipos: G.A.= Grado Absoluto y G.R.= Grado Relativo.

GRADO DE UN MONOMIO: para calcular el grado de un monomio se suman los exponentes de su parte literal, es decir, de las variables. Ejemplo:


3x2 y z3 (se suman los exponentes de las letras: 2 + 1 + 3 = 6)
Por lo tanto el monomio es de grado 6.

GRADO DE UN POLINOMIO:  corresponde al grado del monomio de mayor grado.

Ejemplo:
2a3 b3 + 7a2 b2 c3 - 19 a b c2   es un polinomio de grado 7. El primer monomio o término es de grado 6, el segundo monomio es de grado 7 y el tercero de grado 4.
5x3 - 8 x2 + x4 - 1    Es un polinomio de grado 4. El monomio de mayor grado es de grado 4.













POLINOMIOS:



Es una expresión algebraica racional entera que consta de dos o más términos (monomios) en cantidad finita.


ORDEN DE UN POLINOMIO Y POLINOMIO COMPLETO Los polinomios se ordenan de acuerdo a las potencias crecientes o decrecientes de sus partes literales.
Un polinomio está completo cuando figuran TODAS las potencias menores que el grado del polinomio. Ejemplos:
-1/3 + 6x + x2 + ½ x3  Es un polinomio completo y ordenado en forma creciente
-3x2 - 2 x4 + 5     Es un polinomio incompleto y desordenado. El polinomio completo y ordenado sería: -2 x4 + 0 x3 - 3 x2 +0 x + 5

VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO: Es el valor que se obtiene al sustituir las variables o partes literales por un número y hacer las operaciones correspondientes. Ejemplo:

Calcular el valor del polinomio cuando x=2
P(x) = 3x2 - 2 x + 5
P(2) = 3. (2)2 - 2.2 + 5    
P(2) = 13
P(x,y)   = x3 + 3 x2 y + 3 x y2 + y3
P(5,-3) = (5)3 + 3 (5)2 . (-3) +3 . (5).(-3)2 +(-3)3
P(5,-3) = 8
Para poder realizar las s las respectivas operaciones de polinomios es necesario tener un concepto básico y hasta avanzado sobre la teoría de exponentes, sus reglas y las simplificaciones que esta presenta.










NOTACIÓN CIENTÍFICA:

Convertir números a notación científica y viceversa:
Es frecuente ver, y a veces utilizar, números muy grandes o muy pequeños. Por ejemplo, en enero de 2001, la población del mundo era cerca de 6,160,000,000 de personas. Tal vez se haya leído que el virus de la influenza mide 0.0000001 metros de diámetro. Debido a que es difícil trabajar con tantos ceros, expresamos tales números por medio de exponentes. Por ejemplo, el número 6,160,000,000 lo escribimos como 6.16 x 109, y el número 0.0000001 como 0.1 x 10-7.





POLINOMIOS ESPECIALES:

POLINOMIO HOMOGÉNEO: es aquel cuyos términos están constituidos por más de una variable y representan el mismo grado.
P(x,y) = 2xy– 3x3y2 + yes homogéneo y de 5° grado.
POLINOMIO ORDENADO: cuando los exponentes de la variable que se toma como referencia, guardan un cierto orden, ya sea ascendente o descendente.
P(x,y) = xy – x3y + xy3, es ordenado en forma decreciente respecto a x, y en forma creciente respecto a y.
POLINOMIO MÓNICO: aquel polinomio entero en  x que se caracteriza por ser su coeficiente principal igual a la unidad.
P(x)= x + 7x + 4; es un polinomio Mónico.
POLINOMIO COMPLETO: contiene todos los exponentes de la variable que se toma como referencia, desde el mayor exponente hasta el exponente cero.
P(x)= -2x + 3x2 + x3 – 7 es completo, de 3° grado y tiene cuatro términos, uno más que el grado.
POLINOMIO IDÉNTICOS: aquellos cuyos términos semejantes poseen el mismo coeficiente.
Si P(x)= ax3+bx2+c  y Q(x)= mx3 + nx2+p son idénticos (P(x)=Q(x)), se cumplirá que: a= m; b=n y c=p.
POLINOMIO EQUIVALENTES: polinomios que teniendo formas diferentes aceptan igual valor numérico para un mismo sistema de valores   asignados a sus variables.

Dados los polinomios: P(x,y)=(x+y)2-(x-y)2 & Q(x,y)=4xy
Si ambos admiten el mismo valor numérico para cualquier valor de x & y entonces serán equivalentes.
POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO: aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su valor es cero para cualquier valor de la variable.
Si P(x)=ax3+bx+c, se cumplirá: a=0; b=0 y c=0. Y se podrá representar así: P(x)=0








RESEÑAS BIBLIOGRÁFICAS:


Allen R. Angel, Algebra elemental, Pearson Educacion.


INTEGRANTES:

ZURITA OCAÑA SUSAN
GUERRA GONZALES YAMELI
SALAS HORNA GERARDO
RODRIGUEZ GARCIA GWENDY
CASTRO BEJARANO LUIS
VARGAS MENDOZA JHOSELYN