MAGNITUDES PROPORCIONALES

PROPORCIONALIDAD:

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.

CLASES DE MAGNITUDES PROPORCIONALES:

MAGNITUD DIRECTAMENTE PROPORCIONAL:

Dadas dos variables x e y, y es (directamente) proporcional a x (x e y varían directamente, o x e y están en variación directa) si hay una constante k distinta de cero tal que:

La relación a menudo se denota

y la razón constante

es llamada constante de proporcionalidad.

EJEMPLOS:

Dos albañiles construyen un muro de doce metros de superficie en tres horas; ¿ Qué superficie construirán cinco albañiles en cuatro horas ?

Hay dos parámetros que influyen en la superficie construida: El número de albañiles y el tiempo de trabajo. No hay que resistir a la tentación de aplicar dos veces la proporcionalidad, pero eso sí, explicitando las hipótesis subyacentes.

Afirmar que el trabajo realizado es proporcional al número de albañiles equivale a decir que todos los obreros tienen la misma eficacia al trabajo (son intercambiables); y afirmar que la superficie es proporcional al tiempo de trabajo supone que el rendimiento no cambia con el tiempo: los albañiles no se cansan.

Admitiendo estas dos hipótesis, se puede contestar a la pregunta pasando por una etapa intermedia: ¿ Qué superficie construirían dos albañiles en cuatro horas ? El parámetro"número de albañiles" tiene un valor fijo, luego se aplica la proporcionalidad con el tiempo (subtabla roja). La superficie construida será multiplicada por . Luego, fijando el parámetro tiempo a cuatro horas, y variando él del número de obreros de 2 a 5, la superficie será multiplicada por  (la subtabla azul es proporcional).

El resultado final es

metros cuadrados.

La proporcionalidad múltiple se resuelve así, multiplicando por los coeficientes correspondientes a cada factor:

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONAL

El concepto de proporcionalidad inversa puede ser contrastado contra la proporcionalidad directa. Considere dos variables que se dice son "inversamente proporcionales" entre sí. Si todas las otras variables se mantienen constantes, la magnitud o el valor absoluto de una variable de proporcionalidad inversa disminuirá si la otra variable aumenta, mientras que su producto se mantendrá (la constante de proporcionalidad k) siempre igual.

Formalmente, dos variables son inversamente proporcionales (o están en variación inversa, o en proporción inversa o enproporción recíproca) si una de las variables es directamente proporcional con la multiplicativa inversa (recíproca) de la otra, o equivalentemente, si sus productos son constantes. Se sigue que la variable y es inversamente proporcional a la variable x si existe una constante k distinta de cero tal que

EJEMPLOS:

Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

Vemos que con el mismo pienso, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.

X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas

Nº de vacas
220
450

Nº de días
45
x

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde 

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Luego 450 vacas podrán comer 22 días

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple inversa.

FACTOR DE PROPORCIONALIDAD INVERSA:

La constante, o factor de proporcionalidad inversa, puede ser encontrada multiplicando la variable "x" original y la variable "y" original.

Mejor definido en palabras sencillas es que cuando una cantidad o variable sube la otra varible baja o viceversa.

Como ejemplo, el tiempo consumido en una travesía es inversamente proporcional a la velocidad del viaje; el tiempo necesitado para cavar un hoyo es (aproximadamente) inversamente proporcional al número de personas cavando.

El gráfico de dos variables variando inversamente en un plano de coordenadas cartesianas es una hipérbola. El producto de los valores X e Y de cada punto de esa curva igualarán la constante de proporcionalidad (k). Ya que ni x ni y pueden ser igual a cero (si k es distinta de), la curva nunca cruzará ningún eje.

COORDENADA HIPERBÓLICAS:

Los conceptos de proporción directa e inversa conllevan a la ubicación y puntos en el plano cartesiano por coordenadas hiperbólicas; las dos coordenadas corresponden a la constante de proporcionalidad directa que ubica un punto en un rayo y la constante de proporcionalidad inversa que posiciona un punto en una hipérbola.

PROPORCIONALIDAD EXPERIMENTAL Y LOGARÍTMICA:

Una variable y es proporcionalmente exponencial a una variable x, si y es directamente proporcional a la función exponencial de x, esto es si existen constantes k y a diferentes de cero.

Del mismo modo, una variable y es logaritmicamente proporcional a una variable x, si y es directamente proporcional al logaritmo de x, esto es si existen las constantes k y a distintas de cero.

INTEGRANTES:

-Zurita Ocaña Susan 

-Salas Horna Gerardo

-Guerra Gonzales Yamali

-Rodrguez Garcia Gwendy

-Vargas Mendoza Jhoselyn

-Castro Bejarano Luis